Mardi 3 mars 2009 2 03 /03 /Mars /2009 08:30

Tu as remarqué, lecteur, comme j’aime poser des questions ouvertes, auxquelles personne ne répond ?
Ou encore te parler comme si tu allais de suite ricocher sur mes belles paroles, comme dans un discours direct. (Au passage, notons une hésitation plus que latente entre le 'tu' et le 'vous' : étrangement je n’arrive pas à me décider).
J’aime bien aussi, mon cher lecteur, t’attribuer des goûts qui ne sont pas les tiens, des intérêts qui ne sont finalement qu’une extrapolation tordue d’une dérive qui m’est propre. J’aime à croire, finalement, que même si le fond t’ennuie comme un mauvais épisode du Renard, la forme aura au moins le mérite de te faire sourire.

Justement, comme je le disais hier, je n’ai temporairement plus internet à la maison. Vont donc être mis de côté pendant quelque temps les bâtonnets, illustrations chronophages et autres articles demandant un peu trop de références à glaner de-ci de-là du web. Pourtant, j’y tiens à ce petit fil qui se crée entre nous, à ce petit rendez-vous quasi-quotidien qui s’est instauré petit à petit. Du coup, pendant quelques jours, tu auras droits à de la réflexion absconde en-veux-tu en-voilà ; pour ton plus grand plaisir, comme je le disais.

C’est ainsi que je livre à ta culture infinie (plein de petites cultures mises bout à bout, ça fait une très grosse culture, non ? pour le coup, c’est un concept assez sommable…) la question suivante. Je fais en ce moment passer des entretiens d’embauche pour recruter un VIE. Tout Prométhée que je suis, j’essaie de tester les limites du petit bonhomme – un candidat s’est largement détaché du lot suite au premier entretien – et je souhaite lui poser la
question à laquelle il ne saura pas répondre, du moins pas immédiatement, et qui me montrera comment il réagit lorsqu’il "ne sait pas".
Une collègue m’a soufflé la question et je crois même connaître le moyen d’y répondre, je cherche juste à être sûr que mon raisonnement est correct, et je m’appuie donc sur le soutien de mon public (toi, vous) pour me conforter.

La question est : "Quelle est l’espérance du sinus d’un brownien ?" Je pense que la réponse est zéro ; mais surtout, je suis passé par la décomposition du sinus en exponentielles complexes pour y arriver, puis par des transformations de Laplace – ce qui facilite grandement le calcul – et je me demandais donc : "peut-on appliquer les règles classiques de calcul stochastique (Laplace, la loi Normale, les espérances sous proba risque-neutre…) dans l’ensemble des nombres complexes ?"
Toi, lecteur et chercheur au CNRS des maths qui lis en ce moment mon blog, je suis sûr que tu as la réponse. Tu es un peu timide, tu n’oses pas étaler ton savoir directement dans les commentaires : prends 5 minutes entre 2 résolutions de théorèmes de Fermat et envoie moi un petit mail.

Tu auras remarqué, au passage, que si ma démarche vise à déstabiliser mon cobaye, j’ai tout de même la conscience professionnelle de vouloir connaître la réponse à la question que je lui pose. Autant je peux maîtriser la mauvaise foi comme personne sur certains sujets en affirmant des vérités haut et fort sans aucune justification (la saison 2 de Pokemon fut, reste et demeurera à jamais la meilleure saison de toute la saga), autant parfois, j’ai comme un ptit truc dans mon bide qui me dit que y’a des limites à la malhonnêteté (un genre de conscience… ; je reste cependant persuadé que c’est le plus souvent lié à mon dîner de la veille), et je tiens à faire les choses dans les formes.
Mais ça, la forme, justement, c’est ma spécialité. Tu le savais lecteur. Et c’est d’ailleurs pour ça que tu m’aimes.

Publié dans : Questions
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Commentaires

et si sinus etait continue et que l esperance du brownien était nulle ?
Commentaire n°1 posté par julien le 03/03/2009 à 13h53
@ Julien : Attends, t'es pas en train de me sortir une énormité du style "l'espérance du sinus, c'est le sinus de l'espérance", quand même ?
C'est déjà pas vrai quand on n'a pas de brownien, alors tu te doutes bien que si on met du stochastique là-dedans.
Continue ou pas.
Par contre, j'ai essayé de poser le calcul sans mon astuce, en passant par le Lemme d'Ito et c'est super-relou, donc j'en déduis que ma solution doit être correcte (car plus rapide: raisonnement totalement falatieux mais très pratique, en maths).
Réponse de Gyom le 03/03/2009 à 16h46
non j'ai pas dit ca :)
Commentaire n°2 posté par julien le 03/03/2009 à 16h50
mais tu dois bien avoir une inegalité de la mort qui tue tout non ?
Commentaire n°3 posté par julien le 03/03/2009 à 16h55
@ Julien : Il y a bien l'inégalité de Jensen, mais elle ne concerne que les fonctions convexes (et par extension, les fonctions concaves, donc):
E[f(X)] ≥ f(E[X])    pour f convexe.
Or, toute sympathique que soit la fonction Sinus, elle n'est pas convexe. Ni concave.
Comme je te sens passionné par le sujet, je pourrai te donner quelques bases de calcul stochastique pendant les pubs de nos futures soirées Nouvelle Star.
Réponse de Gyom le 04/03/2009 à 14h33
Sinus est une fonction impaire. La densite du brownien est paire. L'esperance est donc nulle. You fail.
Commentaire n°4 posté par Bisounours le 07/03/2009 à 19h39
@ Bisounours :  Commençons par saluer très honorablement cette réponse plus que pertinente.
Après, je vais tout de même amener une dose de mauvaise foi comme je sais si bien le faire : je ne voulais pas trop compliquer l'article mais la question complète était "quelle est l'espérance du sinus d'un brownien, ainsi que sa variance?"
Et pour le coup de la variance, l'astuce de la fonction impaire ne fonctionne plus.
En passant par des intégrations par parties, on peut aussi trouver une récurrence et ainsi trouver tous les moments successifs, avec tous les moment impaires nuls.
Bref, j'adore ce principe où on part d'une question simple, avec une réponse simple, et où il y a tout un tas de façon de procéder. Chacune ayant leur intérête et leur pertinence.
Mais du coup, je ne sais toujours pas si je peux appliquer Laplace à des fonctions complexes...
Réponse de Gyom le 11/03/2009 à 10h26
Oh mon Dieu !
Depuis quelques temps je me surprends à cliquer de blogs en blogs.
'tiens j'aime bien sa facon d'ecrire", "ah non j'apprecie pas du tout ses dessins", "c'est d'un interet ... rare".
Et là .. Au détour de chez Jack et de ta revendication sur le fait que tu écris en bleu (et que t'es un homme, un vrai) me voici. J'en suis à pas mal de pages ici et je tombe sur CET article !
Et j'avoue m'etre bien marrée.
Pour eviter toute tension je precise de suite : non je n'ai aucune des reponses aux questions soulevées.
Par contre j'ai apprécié lire tout ça et en comprendre au moins la moitié.
Tu parles d'une originalité. J'ai adoré !
Voilà, tout ca pour ca. =]
Commentaire n°5 posté par LeM le 04/06/2009 à 12h30
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